N 4 за 2014год
Расчеты на прочность
В.М.БОНДАРЕНКО, д-р техн.наук, проф.(РААСН, г. Москва), Р.Е. МИГАЛЬ, канд.техн.наук,доц.(МГСУ, г.Москва) К вопросу о потерях предварительного напряжения железобетонных конструкций ..2
Предлагается метод расчета потерь предварительного напряжения железобетонных конструкций, учитывающий нелинейное деформирование бетона, ползучесть бетона и релаксацию напряжений арматуры. Аппарат расчета представлен в алгебраическом виде замкнутыми решениями.
Ключевые слова: бетон, арматура, преднапряжение, долговечность, ползучесть, релаксация.
Ключевые слова: бетон, арматура, преднапряжение, долговечность, ползучесть, релаксация.
UDC 539.3; 624.011. Bondarenko V.M., Migal R.E. On the loss of prestressed concrete structures
The method for calculating losses of prestressed concrete structures, taking into account the nonlinear deformation of concrete, creep and stress relaxation of concrete reinforcement. Unit calculation is presented in the form of a closed algebraic solutions.
Key words: concrete, reinforcement, prestressing, durability, creep.
The method for calculating losses of prestressed concrete structures, taking into account the nonlinear deformation of concrete, creep and stress relaxation of concrete reinforcement. Unit calculation is presented in the form of a closed algebraic solutions.
Key words: concrete, reinforcement, prestressing, durability, creep.
А.С.ДЕХТЯРЬ, д-р техн.наук, проф.(Национальный транспортный университет, г.Киев, Украина) Несущая способность пологих оболочек с нерегулярной срединной поверхностью ..6
Предмет исследования — пологие оболочки постоянной толщины при шарнирном или свободном опирании краев и равномерном нагружении. Выпуклая трансляционная срединная поверхность оболочек имеет особенность в виде углублений различного профиля. Кинематический метод теории предельного равновесия применен для определения верхней границы несущей способности оболочек. Представлены примеры расчета. В них рассмотрены углубления разной высоты и очертания и оценено их влияние на величину предельной нагрузки.
Ключевые слова: несущая способность оболочек, равномерное нагружение, срединная поверхность.
Ключевые слова: несущая способность оболочек, равномерное нагружение, срединная поверхность.
UDC 642.04: 539.376. Dekhtyar A.S. Load carrying capacity of shallow shells with irregular middle surface
An object of investigation are shallow thin shells of constant thickness. Material of shells – ideal rigid1plastic with the same and with different yield limits in tension and in compression. The process of deformation of such shells after achievement of limit equilibrium is considered. It is shown that the point of minimum can be found on deformation curves in accordance with former A.R. Rhzanitsyn supposition. Examples are presented. Influencing of fixing of contour are discussed.
Key words: bearing capacity of shells, uniform loading, the median surface.
An object of investigation are shallow thin shells of constant thickness. Material of shells – ideal rigid1plastic with the same and with different yield limits in tension and in compression. The process of deformation of such shells after achievement of limit equilibrium is considered. It is shown that the point of minimum can be found on deformation curves in accordance with former A.R. Rhzanitsyn supposition. Examples are presented. Influencing of fixing of contour are discussed.
Key words: bearing capacity of shells, uniform loading, the median surface.
М.Н.КИРСАНОВ, д-р физ.-мат.наук,проф. (НИУ МЭИ). Скрытая особенность и асимптотические свойства одной плоской балочной фермы ..9
Балочная ферма обнаруживает мгновенную изменяемость при нечетном числе панелей. Показано распределение возможных скоростей узлов, допустимое при нечетном и недопустимое при четном числе панелей. Находится аналитическое выражение прогиба при тестовом нагружении середины пролета сосредоточенной силой. Схема фермы сравнивается с фермой с треугольной решеткой. Асимптотика прогиба исследуется при увеличении числа панелей. Используется метод индукции и система компьютерной математики Maple.
Ключевые слова: ферма, мгновенная изменяемость, Maple, индукция, асимптотика, прогиб.
Ключевые слова: ферма, мгновенная изменяемость, Maple, индукция, асимптотика, прогиб.
UDC 624.04. Kirsanov M.N. Hidden features and asymptotic properties of the plane truss
Truss detects instantaneous variability of an odd number of panels. The distribution of possible velocities of nodes allowed for odd and unacceptable for an even number of panels. The analytic expression of deflection on the test loading of mid1span by concentrated force is given. The scheme is compared with truss with a triangular lattice. Asymptotics deflection investigated by increasing the number of panels. Used the method of induction and the system of computer mathematics Maple.
Key words: plane trusses, asymptotic properties, degeneration, Maple, deflection.
Truss detects instantaneous variability of an odd number of panels. The distribution of possible velocities of nodes allowed for odd and unacceptable for an even number of panels. The analytic expression of deflection on the test loading of mid1span by concentrated force is given. The scheme is compared with truss with a triangular lattice. Asymptotics deflection investigated by increasing the number of panels. Used the method of induction and the system of computer mathematics Maple.
Key words: plane trusses, asymptotic properties, degeneration, Maple, deflection.
А.Л.КРИШАН, д-р техн.наук,проф., М.М.СУРОВЦОВ, инж. (Магнитогорский государственный технический университет им.Г.И.Носова, г.Магнитогорск) Несущая способность гибких трубобетонных колонн ..14
Представлена методика расчета несущей способности внецентренно сжатых трубобетонных колонн с учетом их гибкости. Данная методика отражает специфические особенности силового сопротивления бетонного ядра и стальной оболочки, работающих в условиях объемного напряженного состояния, а также обеспечивает учет геометрической и физической нелинейности рассчитываемой конструкции. Численный анализ показывает, что для трубобетонных элементов с гибкостью λeff > 50÷60, несущая способность обусловлена их устойчивостью, а для колонн с меньшей гибкостью – прочностью нормальных сечений.
Ключевые слова: трубобетонные колонны, несущая способность,гибкость, сложное напряженное состояние, устойчивость.
Ключевые слова: трубобетонные колонны, несущая способность,гибкость, сложное напряженное состояние, устойчивость.
UDC 624.075.23. Krishan A.L., Surovtsov M.M. Load-carrying capacity of the flexible concretefilled steel tube columns
The paper presents the calculation technique of the carrying capacity of eccentrically compressed pipe1concrete columns with regard to their flexibility. This methodology reflects both the specific peculiarities of the power resistance for the concrete core and steel shell, which operate under the conditions of the volume stress state. This methodology also provides the geometrical and physical nonlinearity account of the calculated construction. The numerical analysis shows that for the concrete filled steel tube elements with the flexibility of 50160, the bearing capacity is conducted by their stability and for the columns with less flexibility is conducted by the strength of the normal sections.
Key words: concrete1filled steel tube columns, load1carrying capacity, flexibility, complex stress state, stability.
The paper presents the calculation technique of the carrying capacity of eccentrically compressed pipe1concrete columns with regard to their flexibility. This methodology reflects both the specific peculiarities of the power resistance for the concrete core and steel shell, which operate under the conditions of the volume stress state. This methodology also provides the geometrical and physical nonlinearity account of the calculated construction. The numerical analysis shows that for the concrete filled steel tube elements with the flexibility of 50160, the bearing capacity is conducted by their stability and for the columns with less flexibility is conducted by the strength of the normal sections.
Key words: concrete1filled steel tube columns, load1carrying capacity, flexibility, complex stress state, stability.
С.Ф.КУЗНЕЦОВ, канд.техн.наук, К.И.ОСТРОВСКИЙ, инж. (НИУ МЭИ). Реконструкция напряженного состояния протяженной системы «балка – упругое основание» по данным натурных обследований ..18
Представлена формулировка и вычислительные процедуры метода дополнительных нагрузок для задачи идентификации механического состояния протяженной системы балка — неоднородное упругое основание при задании отклонений от проектной геометрии. Проведены исследования эффективности метода при различном объеме и точности входной информации, разработаны процедуры получения устойчивых решений.
Ключевые слова: конструкция, упругое основание, технический мониторинг, задача идентификации, обратная задача, метод регуляризации, погрешность данных.
Ключевые слова: конструкция, упругое основание, технический мониторинг, задача идентификации, обратная задача, метод регуляризации, погрешность данных.
UDC 624.04:517.972.7. Kuznetsov S.F., Ostrovskii K.I. The reconstruction of the stress state of extensive system beam – elastic foundation using the onsite inspections data
For extensive system beam1 inhomoheneous elastic foundation the formulation and the computational procedures of the method of additional loads developed for solving the mechanical state reconstruction problem are presented for the case then input data have the form of deflections from the design position. Method has been studied for different amount and precision of the input data; procedures for the stable solution obtaining are developed.
Key words: construction, elastic foundation, technical monitoring, identification problem, inverse problem, error in the data.
For extensive system beam1 inhomoheneous elastic foundation the formulation and the computational procedures of the method of additional loads developed for solving the mechanical state reconstruction problem are presented for the case then input data have the form of deflections from the design position. Method has been studied for different amount and precision of the input data; procedures for the stable solution obtaining are developed.
Key words: construction, elastic foundation, technical monitoring, identification problem, inverse problem, error in the data.
А.С. МАРУТЯН, канд.техн.наук,проф. Северо-Кавказский федеральный университет (филиал в г. Пятигорске). Оптимизация высот стропильных перекрестных стальных ферм ..25
Для стальных ферм покрытий (стропильных ферм) приведены оптимальные параметры их высоты, при которых расход конструкционного материала минимален. Эти параметры получены по двум методикам: из равенства масс поясных и решетчатых элементов с учетом оптимальных углов наклона раскосов, а также традиционным путем дифференцирования функции массы (веса) фермы по высоте. Показана приемлемая сходимость полученных результатов, подтвержденная на примерах легких металлических конструкций из замкнутых гнутосварных профилей типа «Молодечно». Апробированные расчеты оптимальных параметров высоты повторены применительно к системам перекрестных стальных ферм, а их итоги практически совпали с результатами оптимизации перекрестных систем из гнутосварных профилей при сетке колонн 18×18 и 24×24 м, согласно которым оптимальная высота перекрестных стальных ферм составляет 1/12…1/9 их пролета.
Ключевые слова: стальные фермы покрытий, стропильные фермы, легкие металлические конструкции, замкнутые гнутосварные профили, перекрестные стальные фермы, оптимизация, расход конструкционного материала, оптимальная высота, минимальная масса, минимальный вес.
Ключевые слова: стальные фермы покрытий, стропильные фермы, легкие металлические конструкции, замкнутые гнутосварные профили, перекрестные стальные фермы, оптимизация, расход конструкционного материала, оптимальная высота, минимальная масса, минимальный вес.
UDC 624.072.2. Marutyan A.S. Optimizing cross roof heights steel trusses
Key words: steel trusses coatings, roof trusses, light metal construction, closed gnutosvarnye profiles, cross steel trusses, structural material flow.
Key words: steel trusses coatings, roof trusses, light metal construction, closed gnutosvarnye profiles, cross steel trusses, structural material flow.
К.Ф.ШАГИВАЛЕЕВ, канд.техн.наук,доц., Е.К. СУРНИНА, канд.техн.наук,доц., С.В.ВАСИЛЬЦОВ, инж. (Саратовский государственный технический университет)
Расчет пространственной системы из двух оболочек ..35
Рассмотрена пространственная система, состоящая из двух замкнутых цилиндрических оболочек, соединенных одной промежуточной связью. Одна из оболочек нагружена сосредоточенной силой. Исследовано изменение величины реактивного давления в зависимости от места расположения связи и от места приложения внешней сосредоточенной нагрузки.
Ключевые слова: оболочка, нагрузка, связь, реактивное давление, тригонометрический ряд, перемещение.
Ключевые слова: оболочка, нагрузка, связь, реактивное давление, тригонометрический ряд, перемещение.
UDC 624.04:539.3. Shagivaleev C.F., Surnina E.C., Vasiltsov S.V. Calculation of spatial system from two cylindrical shells
The spatial system consisting of two closed cylindrical covers, connected by one intermediate communication is considered. One of covers is loaded with the concentrated force. Change of size of jet pressure depending on the location of communication and from a place of the appendix of the external concentrated loading is investigated.
Key words: shell, loading, communication, jet pressure, trigonometric series, moving.
The spatial system consisting of two closed cylindrical covers, connected by one intermediate communication is considered. One of covers is loaded with the concentrated force. Change of size of jet pressure depending on the location of communication and from a place of the appendix of the external concentrated loading is investigated.
Key words: shell, loading, communication, jet pressure, trigonometric series, moving.
Расчеты на устойчивость
Ю.В.КЛОЧКОВ, д-р техн.наук,проф., А.П.НИКОЛАЕВ, д-р техн.наук,проф., А.А.ШУБОВИЧ, канд.техн. наук (Волгоградский государственный аграрный университет)
Расчет геометрически нелинейных упругих оболочек вращения на основе инвариантной интерполяции перемещений в МКЭ ..40
Изложен алгоритм конечно-элементного расчета оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке с использованием четырехугольного конечного элемента. Использованы наиболее корректные алгоритмы векторной интерполяции перемещений через узловые неизвестные и эффективный алгоритм получения соотношений между приращениями напряжений и приращениями деформаций на шаге нагружения. Сравнение результатов расчета геометрически нелинейной оболочки вращения, полученных с помощью разработанного алгоритма векторной интерполяции перемещений, с результатами расчетов, полученных с использованием скалярной интерполяцией перемещений, показало, что использование векторной интерполяции перемещений в МКЭ приводит к повышению точности конечно-элементных решений при анализе НДС геометрически нелинейных оболочек вращения.
Ключевые слова: четырехугольный конечный элемент, матрица жесткости, оболочка вращения, векторная интерполяция, геометрическая нелинейность.
Ключевые слова: четырехугольный конечный элемент, матрица жесткости, оболочка вращения, векторная интерполяция, геометрическая нелинейность.
UDC 539.3. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Shubovich A.A. Calculation of geometrically nonlinear elastic shells of rotation at the base of invariant interpolation of displacements in the FEM
In the present work the algorithm of the finite element calculation of shells of revolution in the geometrically nonlinear formulation using a quadrangular finite element. We used the most correct algorithms vector interpolation of displacements via nodal unknown and effective algorithm of obtain correlations between the increments of the stress and the increments of the deformation on the step loading. Comparison of calculation results of geometrically nonlinear shell of rotation, which is obtained using the algorithm vector interpolation of displacements, with the results obtained using scalar interpolation of displacements, indicated that the use of vector interpolation of displacements in FEM leads to more accurate finite element solutions when analyzing the SSS geometrically nonlinear shells of rotation.
Key words: quadrangular finite element, a matrix of rigidity, shell of rotation, vectorally interpolation, geometric nonlinearity.
In the present work the algorithm of the finite element calculation of shells of revolution in the geometrically nonlinear formulation using a quadrangular finite element. We used the most correct algorithms vector interpolation of displacements via nodal unknown and effective algorithm of obtain correlations between the increments of the stress and the increments of the deformation on the step loading. Comparison of calculation results of geometrically nonlinear shell of rotation, which is obtained using the algorithm vector interpolation of displacements, with the results obtained using scalar interpolation of displacements, indicated that the use of vector interpolation of displacements in FEM leads to more accurate finite element solutions when analyzing the SSS geometrically nonlinear shells of rotation.
Key words: quadrangular finite element, a matrix of rigidity, shell of rotation, vectorally interpolation, geometric nonlinearity.
А.А. КОТОВ, (Мурманск, МГТУ). Влияние первой трещины на жесткость железобетонного изгибаемого элемента ..48
Методом конечных элементов в комплексе SCAD осуществлено моделирование процесса образования нормальной трещины в железобетонной балке. Выявлено, что жесткость изгибаемого железобетонного элемента в результате образования трещины уменьшается в несколько раз. Учет этого эффекта существенно важен при составлении комплексных расчетных схем сооружений с железобетонным каркасом. Попутно решены также некоторые частные вопросы, неизбежно возникающие при моделировании подобных объектов.
Ключевые слова: конечный элемент, железобетонный стержень, трещина, кривизна, жесткость, расчетная схема.
Ключевые слова: критический момент, устойчивость первого рода, плоская форма изгиба, устойчивость изгибаемых элементов, однопролетные балки.
Ключевые слова: однополостный гиперболоид вращения, сетчатая оболочка, напряженно-деформированное состояние, устойчивость, собственные частоты, прямолинейные образующие, образующие – гиперболы.
Ключевые слова: конечный элемент, железобетонный стержень, трещина, кривизна, жесткость, расчетная схема.
UDC 539.4:624.01. Kotov A.A. The impact of the first cracks on the rigidity of concrete bending element
By the method of the finite elements in complex of SCAD, the process of emergence normal crack in the reinforced concrete beam was simulated. Revealed, that the stiffness of a bending reinforced concrete element decreases in several times, as a result of emergence normal crack. This effect is important in formulating integrated design schemes of the constructions with reinforced concrete frame. Along the way, resolved also some private questions that inevitably arise in modeling of such objects.
Key words: finite element, reinforced concrete beam, crack, flexure, stiffness, design scheme.
By the method of the finite elements in complex of SCAD, the process of emergence normal crack in the reinforced concrete beam was simulated. Revealed, that the stiffness of a bending reinforced concrete element decreases in several times, as a result of emergence normal crack. This effect is important in formulating integrated design schemes of the constructions with reinforced concrete frame. Along the way, resolved also some private questions that inevitably arise in modeling of such objects.
Key words: finite element, reinforced concrete beam, crack, flexure, stiffness, design scheme.
А.Е. СВЯТОШЕНКО, канд.техн.наук (ГАУ НО «Управление госэкспертизы», г.Нижний Новгород). Устойчивость плоской формы изгиба балок двутаврового постоянного сечения с двумя осями симметрии ..54
Предлагаются инженерные формулы для определения величины критического момента, при расчетах балок на устойчивость по плоской форме изгиба. Критические моменты Mcr определены по системе дифференциальных уравнений В.З. Власова [1] для различных видов нагрузки в пролете балки. Результаты расчетов Mcr представлены для однопролетных свободно опертых балок двутаврового постоянного сечения с двумя осями симметрии. Критические моменты Mcr рассчитаны в форме задачи устойчивости первого рода — потеря устойчивого положения элемента прямолинейной формы (нагрузка действует по линии центра изгиба, нейтральная ось балки прямолинейна, материал упругий). Формулы таблицы могут быть использованы для совершенствования норм [2], а также для выполнения проверочных расчетов по нормам [3] и [4].Ключевые слова: критический момент, устойчивость первого рода, плоская форма изгиба, устойчивость изгибаемых элементов, однопролетные балки.
UDC 624.014.2. Svyatoshenko A.E. Stability of the one plane banded Ibeams with the constant symmetrical around two axes section
There are engineering formulas for the critical moment determination for the stability loss of the banded in one plane beams in elastic stage. The critical moments Mcr has been calculated with the system of differential equilibrations by Vlasov theory [1] under different load conditions along the beam. The results are for the simple symmetrical around two axes I1beams with the edge section warping protection. has been determined from the first order stability – stability loss of the straight element with the load acted to the bending axis, straight neutral axis and elastic material.
Key words: the critical moment, the first order stability, the stability of the bended elements, simple beams.
There are engineering formulas for the critical moment determination for the stability loss of the banded in one plane beams in elastic stage. The critical moments Mcr has been calculated with the system of differential equilibrations by Vlasov theory [1] under different load conditions along the beam. The results are for the simple symmetrical around two axes I1beams with the edge section warping protection. has been determined from the first order stability – stability loss of the straight element with the load acted to the bending axis, straight neutral axis and elastic material.
Key words: the critical moment, the first order stability, the stability of the bended elements, simple beams.
С.И. ТРУШИН, д-р техн.наук, проф., Ф.И. ПЕТРЕНКО, инж. (МГСУ, ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко)
Влияние морфологии сетчатого гиперболоида и его напряженно-деформированное состояние, устойчивость и собственные частоты колебаний ..59
Изучено влияние формы образующей однополостного гиперболоида вращения на его напряженно-деформированное состояние, устойчивость и собственные частоты колебаний. Изложены результаты численного анализа сетчатой оболочки при различных нагрузках.Ключевые слова: однополостный гиперболоид вращения, сетчатая оболочка, напряженно-деформированное состояние, устойчивость, собственные частоты, прямолинейные образующие, образующие – гиперболы.
UDC 624.04. Trushin S.I., Petrenko Ph.I. The influence of the morphology of reticulated hyperboloid on its stressstrain state, stability and fundamental frequencies
Influence of form of hyperboloid‘s generatrix on its stress1strain state, stability and fundamental frequency are studied in the article. The results of numerical analysis of reticulated shells under different loads are given.
Key words: hyperboloid of one sheet, reticulated shell, stress1strain state, stability, fundamental frequency, straight generatrix, generatrix1hyperbola.
Influence of form of hyperboloid‘s generatrix on its stress1strain state, stability and fundamental frequency are studied in the article. The results of numerical analysis of reticulated shells under different loads are given.
Key words: hyperboloid of one sheet, reticulated shell, stress1strain state, stability, fundamental frequency, straight generatrix, generatrix1hyperbola.
К.А. ЕГУПОВ, инж.(Астраханский государственный технический университет). Методика определения пространственной работы сил в многоэтажных зданиях конструктивной рамно-связевой системы при сейсмическом воздействии ..65
Исследована пространственная работа сил в многоэтажных зданиях рамно-связевой конструктивной системы проявляющаяся за счет поворота перекрытий в своей плоскости, что вызвано случайным эксцентриситетом между центром жесткости и центром масс. Разработан метод определения сейсмических сил, действующих на многоэтажное здание рамно-связевой конструкции, учитывающий сдвиговые и изгибные деформации, поступательные и крутильные перемещения перекрытий.
Ключевые слова: пространственная работа сил, сдвиго-изгибные деформации, рамно-связевые системы, крутильно-поступательные собственные колебания, сейсмическое воздействие.
Ключевые слова: пространственная работа сил, сдвиго-изгибные деформации, рамно-связевые системы, крутильно-поступательные собственные колебания, сейсмическое воздействие.
UDC 624.042.7. Egupov K.A. Methods of determining the spatial work forces multistorey buildings in a constructive framebraced system under seismic impacts
The paper investigates the spatial work forces in multi1storey buildings with arch1braced structural system is manifested by the rotation of overlap in the plane, which is caused by accidental eccentricity between the center of stiffness and the center of mass. Developed method for determining the seismic forces acting on a multi1storey building with arch1braced construction, taking into account the shear and bending deformations, translational and torsional movement overlap.
Key words: spatial work forces, shear1bending deformation, frame1 braced system, torsional1translational natural oscillations, seismic impact.
The paper investigates the spatial work forces in multi1storey buildings with arch1braced structural system is manifested by the rotation of overlap in the plane, which is caused by accidental eccentricity between the center of stiffness and the center of mass. Developed method for determining the seismic forces acting on a multi1storey building with arch1braced construction, taking into account the shear and bending deformations, translational and torsional movement overlap.
Key words: spatial work forces, shear1bending deformation, frame1 braced system, torsional1translational natural oscillations, seismic impact.
Динамические расчеты
Г.Г. БУЛЫЧЕВ, д-р техн.наук,проф. (МГТУ, МИРЭА, г.Москва). Динамическое разрушение прямоугольных тел с полостями ..70
Рассмотрены две задачи динамического разрушения изотропных упругопластических тел прямоугольного сечения, содержащих внутри себя полости. В первой задаче тонкостенное прямоугольное тело с различным количеством полостей подвергается сжимающей нагрузке. Определяются минимальные разрушающие нагрузки в зависимости от толщины тела, количества и расположения полостей. Во второй задаче рассматривается процесс разрушения полого куба продуктами точечной детонации взрывчатого вещества, помещенного в центр куба.
Ключевые слова: численное моделирование, динамика, разрушение.
Ключевые слова: численное моделирование, динамика, разрушение.
UDC 5.393. Bulychov G.G. Dynamical fracture of rectangular bodies with cavities
In this paper two problems of dynamic fracture of isotropic elasto1 plastic bodies of the rectangular cross section with cavities are considered. In the first problem the thin1walled rectangular body with a various amount of cavities is exposed by compressed loading. The minimal destroy loadings depending on body’s thick, an amount and a disposition of cavities are spotted. In the second problem the process of fracture of a hollow cube by spot detonation products to locate in centre of a cube is considered.
Key words: numerical modelling, dynamics, fracture.
In this paper two problems of dynamic fracture of isotropic elasto1 plastic bodies of the rectangular cross section with cavities are considered. In the first problem the thin1walled rectangular body with a various amount of cavities is exposed by compressed loading. The minimal destroy loadings depending on body’s thick, an amount and a disposition of cavities are spotted. In the second problem the process of fracture of a hollow cube by spot detonation products to locate in centre of a cube is considered.
Key words: numerical modelling, dynamics, fracture.